En este trabajo se ocupa del estudio del producto cruzado obtenido al considerar una norma de tipo ℓ¹, lo cual da como resultado una *-álgebra de Banach. Denotamos a este producto cruzado ℓ¹(G,X). Caracterizaremos distintas propiedades dinámicas de la acción como propiedades analítico-algebraicas de ℓ¹(G,X), generalizando resultados conocidos para acciones de Z. Se determina de forma precisa cuándo la acción es topológicamente libre en términos de ℓ¹(G,X) y, asumiendo libertad topológica de la acción, también caracterizaremos minimalidad, transitividad topológica y libertad topológica residual de la acción en función de propiedades sobre la estructura de ideales de ℓ¹(G,X). A su vez de prueba se realiza para grupos abelianos y libres de torsión, ℓ¹(G,X) detecta libertad de la acción de una forma que no puede ser detectada en el mucho más estudiado producto cruzado C*. Este resultado es un indicio de que el producto cruzado ℓ¹(G,X) retiene más información dinámica de la acción que su contraparte C*-algebraica. Finalmente, se responde la interrogante de exactamente cuánta información de la acción es retenida por ℓ¹(G,X).