In this Thesis we have put together many results recently appeared in the control community, related with the concepts of almost global stability of dynamical systems and density functions. We have also made some contributions on this direction: we have incorporated the idea of monotone measures and studied its relationship with almost global stability; we have blended these new ideas with the classical Ponincar´e-Bendixson Theory for planar systems and we have developed converse results on the direction of proving an equivalence between the existence of density functions and almost global stability. Closing this work, we have analyzed the almost global synchronization of sinusoidally coupled oscillators, where we have stated how some conditions on the interconnection graph ensures the almost global stability of the synchronized state.

En la presente tesis hemos puesto en un solo trabajo recientes aportes aparecidos en la comunidad de control relacionados con el concepto de casi estabilidad global de sistemas dinámicos y las funciones de densidad. También hemos aportado conocimientos originales en dicha línea, a saber: la incorporación de la idea de medida monótona y su relación con la casi estabilidad global, la vinculación de dichas ideas con resultados clásicos como la Teoría de Poincaré-Bendixson para sistemas planos y el desarrollo de resultados recíprocos que van en la línea de probar que la casi estabilidad global es equivalente a la existencia de funciones de densidad. A modo de cierre de la Tesis, hemos incluido el análisis completo de un sistema de osciladores acoplados, donde hemos estudiado las condiciones de interconexión que aseguran la casi estabilidad global del estado de sincronización colectiva.