In this thesis, we extend the previous success of the non-perturbative renormalization group framework and the derivative expansion approximation scheme in analyzing O(n) models to the study of universal properties of models associated with magnetic materials where anisotropies break the O(n) symmetry. These models are: the 4-state clock model, the q-state Potts model and the O(n) × O(2) models. We study specific topics for each model, which require a level of accuracy that was not available beforehand, and improve the technical toolbox that has been implemented previously to analyze each case. For the 4-state clock model, we employ the second order of the derivative expansion to study the role of anisotropies in the physics near criticality. In d = 3, we compute the leading correction to scaling exponent due to the anisotropies as |y4| = 0.111(12), which is consistent with most previous computations and represents an improvement over the value obtained previously using the leading order of the derivative expansion (LPA). We analyze the change in the leading corrections to scaling for d ∈ [2, 3]. For d = 2 the transition becomes the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition, which we observe by analyzing the behavior of y4 when d → 2. We employ LPA and a modified version of LPA (called LPA’) to study the nature of the transition of the q-state Potts model in d = 3. We perform a field expansion up to order nine in power of the fields and compute the curve qc(d), that separates the first and second order region in the (d, q) plane. The transition is of second order for q ≤ qc(d) and of first order for q > qc(d). For small values of ε = 4 − d and δ = q − 2, the computation is carried out by performing a double expansion with respect to ε and δ. We obtain that qc(d = 4 − ε) = 2 + aε2 with a = 0.104(2). We obtain in three dimensions qc(d = 3) = 2.11(7), which is consistent with the common knowledge that the phase transition of the q = 3 Potts model is not second-order. For the O(n) × O(2) models, we study the long-standing controversy regarding the nature of the phase transition for the experimentally realized cases of n = 2 and n = 3 in d = 3, that describe two types of frustrated antiferromagnets: the Stacked Triangular Antiferromagnets (n = 2 and n = 3) and the helimagnets (n = 2). We implement a modified version of the second order of the derivative expansion, incorporating the most significant contributions up to that order, to compute the curve n+c (d). Similar to the curve qc(d) mentioned earlier, n+ c (d) indicates whether the phase transition is of second order (n ≥ n+c (d)) or first order (n < n+c (d)) in the region of coupling constants associated with experiments. We obtain n+c (d = 3) = 6.0(7), which is consistent with the view that for the experimentally relevant cases, there is no second order phase transition. Additionally, we compare the renormalization group flow in the coupling constant in d = 3 for different values of n. We observe that if a second-order phase transition exists in three dimensions for n = 3 and n = 2, it is at least much more elusive than for n > n+c (d = 3). Finally, by studying these three models, we improve the technical toolbox required to analyze theories where the effective local potential depends on more invariants than that of the O(n) models. The effective potential of the O(n) models depends on one invariant. In contrast, for the 4-state clock model and the O(n) × O(2) models, the effective local potential depends on two invariants. For the first time, our work treats the full field dependence of models where the effective local potential depends on more than one invariant up to second order in the Derivative Expansion.

En esta tesis, extendemos el éxito del grupo de renormalización no-perturbativo y el esquema de aproximaciones conocido como desarrollo en gradientes en el análisis de modelos O(n) al estudio de propiedades universales de modelos asociados con materiales magnéticos donde las anisotropías rompen la simetría O(n). Estos modelos son: el modelo del reloj de 4 estados, el modelo de Potts de q estados y los modelos O(n) × O(2). Estudiamos temas específicos para cada modelo, que requieren un nivel de precisión que no estaba disponible con anterioridad, y mejoramos la caja de herramientas implementada previamente para analizar cada caso. Para el modelo de reloj 4 estados, empleamos el segundo orden del desarrollo en gradientes para estudiar el papel de las anisotropías en la física cercana a la criticalidad. En d = 3, calculamos la corrección principal del exponente de “scaling” debida a las anisotropías |y4| = 0.111(12), lo que concuerda con la mayoría de los cálculos anteriores y representa una mejora con respecto al valor obtenido previamente utilizando el orden dominante del desarrollo en gradientes (LPA). Analizamos el cambio en las correcciones principales al “scaling” para d ∈ [2, 3]. Para d = 2 la transición se convierte en la transición Berezinskii-Kosterlitz-Thouless, que observamos analizando el comportamiento de y4 cuando d → 2. Empleamos LPA y una versión modificada de LPA (llamada LPA’) para estudiar la naturaleza de la transición del modelo de Potts q estados en d = 3. Realizamos un desarrollo en campo chico hasta orden nueve en potencia de los campos, y calculamos la curva qc(d), que separa la región de primer y segundo orden en el plano (d, q). La transición es de segundo orden para q ≤ qc(d) y de primer orden para q > qc(d). Para valores pequeños de ε = 4 − d y δ = q − 2, el cálculo se lleva a cabo realizando un doble desarrollo con respecto a ε y δ. Obtenemos que qc(d = 4 − ε) = 2 + aε2 con a = 0, 104(2). Obtenemos en tres dimensiones qc(d = 3) = 2, 11(7), lo que concuerda con el conocimiento común de que la transición de fase del modelo de Potts q = 3 no es de segundo orden en d = 3. Para los modelos O(n) × O(2), estudiamos la controversia respecto a la naturaleza de la transición de fase para los casos experimentalmente realizados de n = 2 y n = 3 en d = 3, que describen dos tipos de antiferromagnetos frustrados: los antiferromagnetos triangulares apilados (n = 2 y n = 3) y los helimagnetos (n = 2). Implementamos una versión modificada del segundo orden del desarrollo en gradientes, incorporando las contribuciones más significativas hasta ese orden, para calcular la curva n+c (d). De forma similar a la curva qc(d) mencionada anteriormente, n+c (d) indica si la transición de fase es de segundo orden (n ≥ n+c (d)) o de primer orden (n < n+ c (d)) en la región de las constantes de acoplamiento asociadas a los experimentos. Obtenemos n+c (d = 3) = 6.0(7), lo que es consistente con la opinión de que para los casos experimentalmente relevantes, no hay transición de fase de segundo orden. Además, analizamos el flujo del grupo de renormalización en d = 3 para distintos valores de n. Observamos que si existe una transición de fase de segundo orden en tres dimensiones para n = 3 y n = 2, es al menos mucho más difícil de encontrar que para n > n+ c (d = 3). Por último, al estudiar estos tres modelos, mejoramos la caja de herramientas técnicas necesarias para analizar teorías en las que el potencial efectivo depende de más invariantes que el de los modelos O(n). El potencial efectivo de los modelos O(n) depende de un invariante. En cambio, para el modelo del reloj 4 estados y los modelos O(n) × O(2), dicho potencial depende de dos invariantes. Por primera vez, nuestro trabajo trata la dependencia de campo completa de los modelos en los que el potencial efectivo depende de más de un invariante hasta el segundo orden en el desarrollo en gradientes.