El tema central de esta tesis es el diseño óptimo de estructuras, el cual es la disciplina que busca utilizar de la forma más eficientemente posible los materiales que conforman una estructura. En la situación mundial actual, donde el cambio climático acelerado es una realidad desalentadora, esta filosofía de diseño es fundamental. En esta tesis se trabajó con el concepto de la derivada topológica en conjunto con el método de los elementos finitos extendido, los cuales ya han sido utilizados para optimización topológica de estructuras en otros trabajos pero nunca antes en conjunto. La derivada se basa en analizar la sensibilidad de cierto funcional respecto a una perturbación en la topología del dominio, siendo entonces la principal herramienta del método de optimización. Por otra parte, la extensión del método de los elementos finitos enriquece la versión tradicional con funciones de forma especializadas para la geometría obtenida lo que permitió reducir el costo computacional del método que es usualmente elevado. Además, en este trabajo se detectaron deficiencias en las formulaciones del método presentes en la bibliografía con lo cual se propuso una nueva formulación del método. Se realizaron ejemplos numéricos que muestran la aplicabilidad del método desarrollado, no solo para la obtención de estructuras que maximizan su rigidez sino además con reducción de regiones de tensiones elevadas. Finalmente, quedan evidenciadas algunas posibles ramas de investigación a futuro como ser extender el método a estructuras de mayor complejidad junto con la extensión a acciones dependientes de la geometría como ser aquellas provenientes de la interacción fluido-estructura.

This thesis’ main topic is the structural optimum design, defined as the discipline that searches for the most efficient way to make use of the materials that make a structure. In the current global situation, where the rapid climate change is a daunting reality, this design philosophy is fundamental. In this thesis, the topological derivative concept together with the extended finite element method were employed. Those two were already used in previous works of structural topology optimization but never before used in conjunction. The derivative is based on studying the sensitility of a certain functional towards a small perturbation of the domain topology, thus making it the main tool of the optimization methodology. On the other hand, the finite element method extension enriches the traditional version with specialized shape functions for the obtained geometry, thereby reducing the computational cost of the method which is usually high. Furthermore, in this work, deficiencies in the method’s formulations present in the literature were detected, after which improvements were proposed. Numerical examples were conducted that show the developed method’s applicability, not only for obtaining structures as rigid as possible, but also to reduce high stress regions. Finally, some possible future research lines are made clear. Some of them may be to extend the method to structures of higher complexity and also to use geometry dependent loads as those derived from fluid-structure interaction.